پدرش، شیخ غلامرضا واعظ طبسی 
(متولد ۱۲۷۴ش در طبس و متوفای ۱۳۱۵ش در سبزوار) واعظ جوان و قهاری بود که در سن ۴۱ سالگی به‌صورت ناگهانی درگذشت. چندین دهه بعد، امام خمینی(ره) در دیداری با پسر یعنی آیت‌الله شیخ عباس واعظ طبسی گفت: «من به شما از دو حیث ارادت دارم، به خاطر خودتان و به خاطر مرحوم والدتان، چه بسیار افرادى غیرمسلمان بودند که تحت تأثیر منطق و کلام مؤثر و پرجاذبه او به اسلام مشرف شدند و در کشورهاى عربى موقعیت ویژه‌اى داشت». عباس واعظ طبسی از سن ۲۱ سالگی تحت تأثیر پدر به مسیر مبارزه سیاسی با پهلوی وارد شد و سال ۱۳۳۹ش در سن ۲۵ سالگی نخستین چالش با سازمان تازه‌تأسیس ساواک را تجربه کرد. نخستین همراه وی در این فعالیت‌ سیاسی، سیدعبدالکریم هاشمی‌نژاد بود و بعد‌ها آیت‌الله سیدعلی خامنه‌ای و آیت‌الله محمدرضا محامی نیز به این دو پیوستند و چهار چهره اصلی فعالیت‌های سیاسی روحانیون مشهد شدند. واعظ طبسی که چند ماه پس از واقعه گوهرشاد به دنیا آمده بود، در بیست و ششمین سالگرد این فاجعه، سخنرانی تندی درباره عدل زمامداران در سرای محمدیه مشهد ایراد کرد که منجر به هفت ماه ممنوعیت منبر او شد.
آیت‌الله واعظ طبسی در خاطراتش گفته بود پس از آشنایی با امام خمینی، در مسجد ملاهاشم مشهد چون برای نخستین ‌بار از امام خمینی به ‌عنوان مرجع اعلم نام می‌برد و تحت پیگرد ساواک قرار می‌گیرد و دستگیر می‌شود. در سال‌های
 ۴۱ و ۴۲ با اوج‌گیری حرکت اعتراضی امام خمینی و دیگر طلاب و روحانیون، واعظ طبسی نیز چندین بار در مشهد و قم دستگیر و روانه زندان می‌شود. وی همچنین بار‌ها در جلسات درس خود در مسجد ملاهاشم مشهد به انتقاد از حکومت می‌پرداخت. این مسجد محل تدریس دوره‌های مقدمات و سطح حوزه علمیه مشهد از سوی آیت‌الله بود و پایگاه مهم وی به شمار می‌رفت. واعظ طبسی در جلسات درس سیدحسین بروجردی، سید محمدهادی میلانی و شیخ‌مجتبی قزوینی شرکت کرده بود، اما در دهه‌های 40 و 50 به ‌عنوان سخنوری معترض شناخته می‌شد. جایگاه وی در مشهد سبب شد در سال ۱۳۵۶ش از سوی آیت‌الله پسندیده در کنار آیت‌الله خامنه‌ای و محامی به ‌عنوان مسئول تقسیم شهریه امام خمینی در میان طلاب مشهد تعیین شود. با همین زمینه حوزوی و سیاسی بود که وی پس از پیروزی انقلاب اسلامی از سوی امام خمینی به عنوان والی اصلی خراسان و متولی آستان قدس رضوی منصوب شد. حضور در مجلس خبرگان رهبری (از سال ۶۱ تا درگذشت) و نیز حضور در مجمع تشخیص مصلحت نظام به‌ عنوان عضو حقیقی مجمع (از سال ۷۵ تا درگذشت) از دیگر مناصب مهم وی بوده که از سوی مردم یا رهبری به وی واگذار شده‌اند. 
در جمهوری اسلامی از آیت‌الله واعظ به ‌عنوان نمونه موفق مدیریت اسلامی نام می‌برند که تشکیلات تحت سرپرستی خود در خراسان را به ‌عنوان یکی از مهم‌ترین نهادهای اقتصادی و اجرایی کشور ارتقا داد و به قطب مهم اقتصادی و کارآفرینی در کشور تبدیل کرد. سرانجام، آیت‌الله شیخ‌عباس واعظ طبسی که از ۷ اسفند به دلیل مشکلات تنفسی در بیمارستان امام رضا(ع) مشهد بستری شده بود، با وخیم‌تر شدن حال عمومی، در ۱۴ اسفند ۱۳۹۴ش (۲۴ جمادی‌الاول ۱۴۳۷ق) درگذشت. رهبر جمهوری اسلامی ایران بر پیکر وی نماز خواند و در حرم امام رضا(ع) به خاک سپرده شد. آیت‌الله خامنه‌ای در پیامی وی را برادری همدل و همزبان برای خود و مریدی صَدیق برای امام خمینی(ره) دانست.